【解答】40人のなかに「同じ誕生日の人がいる確率」はどれくらい?

新人タレント・柑乃美優(かんのみゆう)ちゃんはかわいいルックスとは裏腹に、実は大学で数学を専攻し、数学の塾講師もしているバリバリの理系女子。現在、“かわいすぎる数学講師”として活動中だ。そんな美優センセイが算数の問題を出題。「就職活動のSPI以来、数学なんてやっていないよ!」という人も、ぜひチャレンジを!

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【正解】

柑乃美優

正解発表!

【解説】
40人のなかに「同じ誕生日の人」がいる確率は約89%!

何となく「40人いたら、誕生日が同じになる人がいる確率は40/365で、(2)10%が近いかな」と思ってしまいませんか? 直感的に考えると正しいように思えてしまうのですが、実は正解は約89%なので、(4)が一番近いんです! たった40人なのに、9割の確率で同じ誕生日の人がいるって、すごいと思いませんか!!

 ここからは高校レベルの確率になってしまいますので、(丁寧に解説するつもりですが)軽く読む程度でもかまいません。リラックスして読んでくださいね♪

 この「同じ誕生日の人がいる確率」は「余事象」という考え方を使います!

 そもそも確率は、
「Aという事象が起きる確率」+「Aという事象が起きない確率(余事象)」=1
 となっています。

「Aという事象が起きる確率」をいきなり求めるのが難しい場合には、「Aという事象が起きない確率」を求めて1から引いても求められますよね♪

 この「余事象」を使った考え方は、「少なくとも1人は」といった確率を求める際に大活躍するんです♪ 「少なくとも1人は」ということは、「1人いる場合」「2人いる場合」…と計算が大変になってしまうからです。

 さて今回の問題ですが、いきなり「40人のなかに“少なくとも1組は”同じ誕生日の人がいる確率」を求めようとするのではなく、余事象の「40人のなかに、同じ誕生日の人がいない確率」(つまり、全員の誕生日が異なる確率)を求めてみましょう!

 まず1人目が選べる誕生日は365日あるので、365/365となりますよね。

 次に2人目が選べる誕生日は、1人目とは異なる日であればいいので、364/365となります。

 さらに3人目が選べる誕生日は、1人目と2人目と異なる日であればいいので、363/365となります。

 これを繰り返していけば、40人目が選べる誕生日は39人と異なる日であればいいので、326/365となります。つまり、40人全員の誕生日が異なる確率は、

 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 326/365 …(A)

 となることがわかりますよね♪

 よって、余事象の考え方から「40人のなかに“少なくとも1組は”同じ誕生日の人がいる確率」は、1-(A)で計算できます。

 これを計算すると、0.891…となって「約89%」という答えが得られるんです♪

【補足】
 さて、「1-(A)」を自力で計算するのはすごく大変ですが、ざっくりとどれくらいの値になるかを予想することは可能です。まず(A)の最初の365/365は1ですよね。次の364/365もほとんど1です。

 では逆に、最後の326/365を見てください。これはだいたい0.9くらいですよね。その1つ前の327/365も、その前の328/365もその前もほとんど0.9です。

0.9×0.9=0.81
0.81×0.9=約0.73
0.73×0.9=約0.66
0.66×0.9=約0.59

 のように、0.9を掛けていくと急激に数が小さくなっていきます。ちなみに、0.9を10回掛けると、0.348…となるので、「(A)はかなり小さくなりそう」ということが予想できますよね。

 今回の計算でわかることは、40人もいればほぼ確実に、誰かと誰かが同じ誕生日になっているってことです。誕生日が同じなんて運命的に感じてしまいますが、案外そうでもないのかもしれないですね(笑)。

 では、次回も数学に興味を持ってもらえるようなお話をご紹介しますから、楽しみにしていてくださいね♪

★今回のコスプレは「ハロウィンコスプレ」でした。次回もお楽しみに

●柑乃美優(かんのみゆう)
柑乃美優日本大学理工学部数学科に所属する現役大学生タレント。「暇なときはつい因数分解やっちゃいます」「理想のデートは家電量販店」という根っからの理系。

公式ブログ(http://ameblo.jp/kanno-miyu/
Twitter(https://twitter.com/myu_math49

⇒【インタビュー】柑乃美優「理想のデートは電気屋さん」
http://nikkan-spa.jp/276637


<取材・文/横山 薫(本誌) 撮影/難波雄史(本誌)>




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